Sato-Tate Distributions in Genus 3


Generic distribution

USp(6)    (#1)   y2 = x7 - x + 1
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 1, 0, 3, 0, 15, 0, 104, 0, 909, ...)    M[a2] = (1, 1, 2, 5, 16, 62, 282, 1459, 8375, ...)    M[a3] = (1, 0, 2, 0, 23, 0, 684, 0, 34760, ...)

Exceptional distributions

U(1)3    27a*27a*27a over Q(√-3)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 18, 0, 486, 0, 14580, 0, 459270, 0, 14880348, ...)    M[a2] = (1, 9, 99, 1215, 15795, 212139, 2907981, 40422321, 567624915, ...)    M[a3] = (1, 0, 164, 0, 47148, 0, 15454820, 0, 5361965980, ...)

SU(2)3    11a*11a*11a
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 9, 0, 162, 0, 3645, 0, 91854, 0, 2480058, ...)    M[a2] = (1, 6, 45, 405, 4131, 45684, 532899, 6451650, 80273835, ...)    M[a3] = (1, 0, 65, 0, 11076, 0, 2561186, 0, 685324780, ...)

U(1)xU(1)2    27a*32a*32a over Q(i,√-3)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 10, 0, 198, 0, 4900, 0, 134470, 0, 3912300, ...)    M[a2] = (1, 5, 43, 443, 5059, 61295, 771445, 9969125, 131356915, ...)    M[a3] = (1, 0, 68, 0, 14244, 0, 3866000, 0, 1170048292, ...)

U(1)xSU(2)2    27a*11a*11a over Q(√-3)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 6, 0, 86, 0, 1660, 0, 37254, 0, 916020, ...)    M[a2] = (1, 4, 25, 197, 1811, 18370, 199015, 2258800, 26541115, ...)    M[a3] = (1, 0, 36, 0, 4676, 0, 913040, 0, 215523812, ...)

SU(2)xU(1)2    11a*27a*27a over Q(√-3)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 9, 0, 146, 0, 2965, 0, 68334, 0, 1707930, ...)    M[a2] = (1, 5, 35, 299, 2899, 30495, 339085, 3924485, 46820435, ...)    M[a3] = (1, 0, 50, 0, 7436, 0, 1543940, 0, 377596884, ...)

SU(2)xSU(2)2    11a*14a*14a
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 5, 0, 58, 0, 925, 0, 17598, 0, 374850, ...)    M[a2] = (1, 4, 21, 137, 1059, 9250, 88075, 892540, 9478251, ...)    M[a3] = (1, 0, 26, 0, 2444, 0, 366740, 0, 70009940, ...)

U(1)xU(1)xU(1)    27a*32a*49a over Q(i,√-3,√-7)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 6, 0, 90, 0, 1860, 0, 44730, 0, 1172556, ...)    M[a2] = (1, 3, 21, 183, 1845, 20223, 234129, 2816523, 34857909, ...)    M[a3] = (1, 0, 32, 0, 4920, 0, 1109120, 0, 293308120, ...)

U(1)xU(1)xSU(2)    27a*32a*11a over Q(i,√-3)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 5, 0, 62, 0, 1065, 0, 21714, 0, 492366, ...)    M[a2] = (1, 3, 17, 123, 1053, 10023, 102549,1105191, 12387909, ...)    M[a3] = (1, 0, 24, 0, 2600, 0, 446720, 0, 95273976, ...)

U(1)xSU(2)xSU(2)    27a*11a*14a over Q(√-3)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 4, 0, 40, 0, 570, 0, 9898, 0, 195216, ...)    M[a2] = (1, 3, 14, 84, 607, 4993, 45009, 433807, 4399453, ...)    M[a3] = (1, 0, 18, 0, 1384, 0, 181460, 0, 31197880, ...)

SU(2)xSU(2)xSU(2)    11a*14a*15a
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 3, 0, 24, 0, 285, 0, 4242, 0, 73206, ...)    M[a2] = (1, 3, 12, 60, 363, 2553, 20109, 172371, 1575933, ...)    M[a3] = (1, 0, 13, 0, 728, 0, 73565, 0, 10232600, ...)

U(1)xUSp(4)    27a*Jac(y2=x5-x+1) over Q(√-3)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 3, 0, 21, 0, 214, 0, 2758, 0, 41796, ...)    M[a2] = (1, 2, 7, 32, 181, 1193, 8801, 70675, 606269, 5483352, 51797751, ...)    M[a3] = (1, 0, 8, 0, 348, 0, 29536, 0, 3551240, 0, 531127872, ...)

SU(2)xUSp(4)    11a*Jac(y2=x5-x+1)
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   
          M[a1] = (1, 0, 2, 0, 11, 0, 94, 0, 1050, 0, 14076, ...)    M[a2] = (1, 2, 6, 23, 109, 613, 3941, 28087, 216901, ...)    M[a3] = (1, 0, 6, 0, 188, 0, 12226, 0, 1185352, ...)

U(3)    y3 = x4 + x + 1 over Q(√-3)
          a1:   
          M[a1] = (1, 0, 2, 0, 12, 0, 120, 0, 1610, 0, 25956, ...)    M[a2] = (1, 1, 4, 18, 107, 743, 5793, 49157, 445133, 4243629, 42183426, ...)    M[a3] = (1, 0, 6, 0, 232, 0, 21260, 0, 2844856, 0, 472811472, ...)

   y2 = x7 + 3x6 + 2x5 + 6x4 + 4x3 + 12x2+ 8x
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   

   y2 = x7 + 1
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   

   y2 = x7 - x
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   

   y2 = x7 - 2x
          a1:    a2:    a3:    s2:    s3:    s4:    s5:    s6:    s7:   

   y2 = x8 - 14x4 + 1
          a1:   

   y2 = x8 + 1
          a1:   

   y2 = x8 + 2
          a1:   

   y2 = x8 + 3
          a1:   

   y3 = x4 + x + 1
          a1:   



Acknowledgement: This work was partially supported by NSF grant DSM-1115455.